Colisiones en Dos Dimensiones
En un sistema aislado, la cantidad de movimiento lineal total del sistema se conserva en todas las colisiones:
$$\mathbf{p}_{\text{total}} = \mathbf{p}_1 + \mathbf{p}_2 = \text{constante}$$
Esto significa que las componentes \(i\) y \(j\) se conservan por separado en un plano cartesiano bidimensional:
$$m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = m_1 v'_{1x} + m_2 v'_{2x}$$
$$m_1 v_{1y} + m_2 v_{2y} = m_1 v'_{1y} + m_2 v'_{2y}$$
Condición de validez. La conservación exige que no actúen fuerzas externas netas sobre el sistema.
La repulsión entre discos magnéticos es una fuerza interna (acción y reacción), por lo que el momento total se conserva.
En cambio, al inclinar la mesa la gravedad actúa como fuerza externa y la componente vertical \((p_y)\) deja de conservarse durante el desplazamiento.
Realiza las verificaciones de conservación con la mesa horizontal (ángulo \(0^\circ\)).
Clasificación de los choques
Se denomina choque o colisión a una interacción que ocurre en un intervalo de tiempo muy breve, durante el cual solo se examina el estado de los cuerpos antes y después. Atendiendo a lo que sucede con la energía cinética, todo choque se clasifica en dos grandes grupos, que el deslizador de elasticidad \(e\) permite reproducir:
- Perfectamente elástico (\(e = 1.0\)): no cambian otras propiedades de los cuerpos que las relativas a su movimiento. La energía cinética puede intercambiarse entre los discos, pero la energía cinética total se conserva. El choque de dos canicas o de dos discos sobre una mesa de aire se aproxima a este caso.
- Inelástico (\(e < 1.0\)): parte de la energía cinética se transforma en otras formas (calor, sonido, deformación), de modo que la energía cinética total no se conserva. La inmensa mayoría de los choques cotidianos son de este tipo.
- Totalmente inelástico o plástico (\(e = 0.0\)): caso límite del inelástico en el que, tras la interacción, ambos cuerpos quedan con una misma velocidad y avanzan acoplados. La pérdida de energía cinética es máxima.
Importante. Cualquiera que sea el tipo de choque, la cantidad de movimiento total siempre se conserva si el sistema puede considerarse aislado; lo que distingue a un tipo de otro es únicamente el comportamiento de la energía cinética.
Elasticidad y Energía
La energía cinética total traslacional del sistema está dada por:
$$E_c = \dfrac{1}{2}m_1 |\mathbf{v}_1|^2 + \dfrac{1}{2}m_2 |\mathbf{v}_2|^2$$
En una colisión perfectamente elástica (\(e = 1.0\)), la energía cinética total se conserva. En colisiones inelásticas (\(e < 1.0\)), parte de la energía se disipa en forma de calor o deformación. En colisiones "pegajosas" o perfectamente inelásticas (\(e = 0.0\)), los cuerpos viajan acoplados compartiendo la velocidad de su centro de masa y convirtiendo el exceso de energía cinética lineal en rotación:
$$E_r = \dfrac{1}{2}I \omega^2$$
El teorema de los 90° (masas iguales)
Existe un resultado notable, verificable directamente en este simulador. Cuando un disco choca con otro de igual masa que se encuentra inicialmente en reposo y el choque es perfectamente elástico (\(e = 1.0\)), las direcciones de las velocidades de ambos discos después de la colisión forman siempre un ángulo de \(90^\circ\):
$$\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ \qquad (m_1 = m_2,\ \ \vec{v}_{2}=0,\ \ e=1)$$
Esta propiedad se observa con frecuencia en el billar, las canicas y, de forma especialmente nítida, en los discos sobre una mesa de aire. Para comprobarla, configura masas iguales, deja un disco en reposo y fija la elasticidad en \(1.0\); tras el impacto, mide los ángulos de salida. Si las masas son distintas, o el choque no es elástico, el ángulo entre las velocidades finales deja de ser recto.
Interpretación vectorial: el triángulo de velocidades
Para dos discos de igual masa, la conservación de la cantidad de movimiento se reduce a una suma vectorial de velocidades, y la conservación de la energía cinética (cuando el choque es elástico) a una relación entre sus módulos:
$$\vec{v}_{o1} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2 \qquad (1)$$
$$v_{o1}^{\,2} = v_1^{\,2} + v_2^{\,2} \qquad (2)$$
La ecuación (1) indica que los vectores \(\vec{v}_{o1}\), \(\vec{v}_1\) y \(\vec{v}_2\) forman un triángulo. La ecuación (2) es precisamente el teorema de Pitágoras; por tanto, ese triángulo es rectángulo y el ángulo entre \(\vec{v}_1\) y \(\vec{v}_2\) es de \(90^\circ\). El siguiente esquema resume esta lectura geométrica:
Incertidumbres
- Resolución de masa: \(0.1 \text{ kg}\) → Incertidumbre: \(\pm 0.05 \text{ kg}\).
- Resolución de velocidad: \(0.01 \text{ m/s}\) → Incertidumbre: \(\pm 0.005 \text{ m/s}\).
- Incertidumbre de posición: \(\pm 0.01 \text{ m}\).
- Tolerancia para comprobación de magnitudes: \(\pm 0.05 \text{ Ns}\).